Đeljošaj se javno angažuje još 2003. godine, sudeći po dostupnim podacima, kada potpisuje saopštenje ispred Nezavisne unije studenata Albanaca u Crnoj Gori (NUSACG), a sve u vezi sa tada najavljenom gradnjom stanova kompanije „Plantaže“, prema čemu izražava negativan stav. Sljedeće godine je bio jedan od organizatora potpisivanja peticije za stvaranje posebne tri regije u kojima žive Albanci, a javno je istupao kao izvršni direktor NVO Unitas, i zagovarao formiranje samostalne opštine Tuzi.
Potom je u narednim godinama poslovao na tržištu telekomunikacija, a mediji ga potpisuju i kao aktivistu Albanske alternative (AA). Na parlamentarnim izborima u martu 2009. godine bio je drugi na listi AA i Demokratskog saveza, što je izazvalo raskol u Albanskoj alternativi.
Nakon nekoliko godina - u julu 2013. godine imenovan je za v.d. generalnog direktora Direktorata za obrazovanje pripadnika manjinskih naroda i drugih manjinskih nacionalnih zajednica u Ministarstvu prosvjete, koju funkciju obavlja tek do marta 2014. godine, kada postaje poslanik u Skupštini Crne Gore umjesto Fatmira Đeke, koji je tada izabran za predsjednika Opštine Ulcinj.
Pred kraj mandata, u maju 2016. godine, najavljuje bojkot Skupštine zbog Riječnika crnogorskog književnog i narodnog jezika Crnogorske akademije nauka i umjetnosti (CANU), a potom ide i korak dalje i siječe, odnosno po njegovim riječima „reciklira“ primjerak Riječnika u Skupštini.
Vlada Duška Markovića imenuje ga za državnog sekretara u Ministarstvu javne uprave na proljeće 2017. godine, a potom na izborima za Skupštinu gradske opštine Tuzi, u novembru 2017. godine, predvodi listu Albanske alternative, kada osvaja odbornički mandat. Sljedeće godine nosi listu AA i na lokalnim izborima u Podgorici, kada obezbjeđuje odbornički mandat i u Podgorici.
Nakon što su Tuzi u septembru 2018. godine dobile status samostalne opštine, Đeljošaja biraju za predsjednika Albanske alternative, da bi na lokalnim izborima u martu 2019. godine pobijedila upravo ta politička partija, a Đeljošaj potom bio izabran za predsjednika opštine, koji funkciju je obavljao u naredne četiri godine.
Za vrijeme njegovog mandata na čelu opštine, pored problema sa podgoričkom administracijom oko razgraničenja, javlja se i spor sa kompanijom „Plantaže“ kojoj Tuzi obračunavaju ogromne iznose za porez na nepokretnost, a potom iste prinudno naplaćuju sa računa kompanije u većinskom državnom vlasništvu, zbog čega se vode sporovi pred Upravnim sudom Crne Gore.
U februaru 2021. godine učestvovao je u blokadi puta između Podgorice i Tuzi, organizovane zbog tada najavljenih mjera za suzbijanje pandemije virusa Covid 19, zbog čega je Osnovno državno tužilaštvo otvorilo postupak protiv Đeljošaja.
Sljedeće godine Đeljošaja privodi i nakon saslušanja pušta podgorička policija zbog „vrijeđanja i omaložavanja policajaca“, dok on izjavljuje sljedeće: „Velika neistina je da sam napao policajce. Hvala bogu da postoje kamere u servisu za tehnički pregled, pa će se sve vidjeti. Tražiti vanredni tehnički pregled vozila, starog pet godina, pokazuje početnu namjeru maltretiranja“.
Na proljeće 2023. godine opet je izabran za predsjednika Opštine Tuzi, nakon što je Albanski forum koji je predvodio na izborima osvojio apsolutnu vlast u toj opštini. Par mjeseci kasnije, na parlamentarnim izborima, Albanski forum sa Đeljošajem kao nosiocem liste osvaja dva mandata u Skupštini Crne Gore, i on obezbjeđuje i poslanički mandat.
Ipak, Đeljošaj ubrzo napušta Skupštinu i preuzima funkciju ministra ekonomskog razvoja i potpredsjednika Vlade za ekonomsku politiku, u Vladi premijera Milojka Spajića.
U martu 2024. godine Đeljošaj na svom Fejsbuk nalogu iznosi niz teških kvalifikacija na račun tužiteljke Ivane Petrušić, sudije Ivane Becić i novinara TV Vijesti Danila Ajkovića, nakon što je na pomenutoj televiziji emitovan prilog povodom odluke Skupštine da se Đeljošaju ne oduzima imunitet kako bi pravosudni organi mogli nastaviti da vode postupak protiv njega zbog sumnje u izvršenje krivičnog djela Pozivanje na otpor, pokrenut par godina ranije zbog blokade puta u Tuzima.
Sredinom 2025. godine aktuelna je njegova uloga kao predsjednika Tenderske komisije za dodjelu koncesije za aerodrome u Podgorici i Tivtu, naročito u kontekstu neslaganja sa konsultantom u tom procesu – IFC.
U avgustu 2025. godine saslušan je u podgoričkoj policiji nakon što ga je prijavio Jakov Milatović, predsjednik Crne Gore, a sve nakon njihove komunikacije i razmijenjenih optužbi povodom Zakona o izmjenama i dopunama Zakona o porezu na nepokretnost, koji je Milatović vratio Skupštini. Dio medija tada tvrdi da je pozadina problema zapravo u obračunu poreza na nepokretnost koji Opština Tuzi vrši za poreskog obveznika „Plantaže“, kompaniju u većinskom državnom vlasništvu, dok Đeljošaj te optužbe kategorično odbija.