Savić je započeo karijeru u pravosuđu još početkom 90ih godina, kada je prvo obavljao funkciju zamjenika osnovnog javnog tužioca u Kotoru, a potom i sudije Osnovnog suda u tom gradu. Potom je, 2003. godine, imenovan za državnog tužioca u Osnovnom državnom tužilaštvu u Kotoru.
U tom svojstvu vodio je istragu oko prodaje pola miliona kvadrata zemljišta u Grblju, a po nalogu tadašnjeg vrhovnog državnog tužioca Vesne Medenice. Osnovni sud u Podgorici je u aprilu 2005. godine presudio da je prodaja zemljišta kompaniji „KPM Limited“, povezanoj s Olegom Deripaskom, bila zakonita, međutim kasnije su Medenica i Savić ulagali žalbu i tražili proširenje istrage. Potom, u septembru 2005. godine, Savić podnosi optužnicu protiv bivšeg predsjednika Opštine Kotor Nikole Samardžića i članova komisije za procjenu tržišne vrijednosti zemljišta - Dragana Kovačevića, Budislava Vasića, Lazara Ševaljevića, Rade Radenović i Danijele Petrović-Jablan. Optuženi su oslobođeni presudom Osnovnog suda u Kotoru iz maja 2006. godine.
U februaru 2014. godine izabran je za predsjednika Višeg suda u Podgorici, na kojoj poziciji ostaje narednih 10 godina. Prilikom njegovog izbora Vesna Medenica, tada predsjednica Vrhovnog suda i Sudskog savjeta, izjavljuje: „Boris Savić bio je sjajan kao tužilac i njegove menadžerske sposobnosti izdvojile su ga u odnosu na ostale kandidate i preporučile za funkciju predsjednika Višeg suda.“
U toku 2016. godine Savićevo ime izbija u fokus javnosti zbog prihvatanja sporazuma o priznanju krivice, koji su sa Specijalnim državnim tužilaštvom prethodno zaključili Svetozar i Miloš Marović, optuženi u više budvanskih afera. Dugogodišnji funkcioner Demokratske partije socijalista (DPS) priznao je tada da je bio na čelu kriminalne grupe koja je u projektima "Jaz", "TK Plaza", "Kopirajt", "Krapina", "VTE", "Bulevar" i "Prijevor" izazvala višemilionsku štetu po opštinski budžet. Nakon potpisivanja sporazuma Svetozar Marović je izašao iz pritvora, pa otišao na liječenje u Beograd, a od tada je nedostupan crnogorskim organima, kao i njegov sin Miloš Marović – čija kazna zatvora je u međuvremenu zastarila.
2017. godine bio je jedan od kandidata za sudiju Evropskog suda za ljudska prava. Tek što je započeo svoj drugi mandat na čelu Višeg suda u Podgorici, 2019, Duško Knežević ga optužuje da je primao novac od tada uhapšenog sekretara tužilaštva Nenada Vujoševića, što Savić demantuje a potom i traži izuzeće iz svih predmeta koji su se ticali Kneževića.
Za vrijeme njegovog rukovođenja Višim sudom u Podgorici dogodio se nezapamćen slučaj prokopavanja tunela do depoa zgrade tog suda. „Apsolutno ne osjećam nikakvu ni moralnu, a kada nju stavimo u drugi plan, ne osjećam nikakvu ni materijalnu ni formalnu odgovornost”, naveo je Savić u osvrtu na ovaj slučaj a povodom ocjene tužilaštva da je predugo trajao popis predmeta u depou.
Bio je kandidat za sudiju Apelacionog suda, međutim, nije izabran, a nakon isteka mandata predsjednika Višeg suda nastavio je da obavlja funkciju sudije u toj instanci.